Решение произвольных треугольников

Для решения случайных треугольников существует аксиома косинусов и аксиома синусов.

Аксиома косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-ух других сторон без двойного произведения этих сторон на косинус угла меж ними.

Формула a2=b2+c2−2b c cos A ( либо формула b2=a2+c2−2a c cos B либо формула Решение произвольных треугольников c2=b2+a2−2b a cos C ) позволяет вычислить длину одной из сторон треугольника по данным длинам 2-ух других сторон и величине угла, лежащей против неведомой стороны.
Аксиома косинусов позволяет также по даннм величинам сторон треугольника вычислить величины его углов:
cos A=2b cb2+c2−a2; cos B=2a Решение произвольных треугольников ca2+c2−b2; cos C=2a ba2+b2−c2.

Аксиома синусов. Стороны треугольника пропорционально синусам обратных углов asin A=bsin B=csin C , где a, b, c - стороны треугольника.

Аксиома синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против какой-то из них (либо по стороне и двум углам) вычислить Решение произвольных треугольников другие элементы треугольника.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Прямоугольный треугольник

Треугольник именуют прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, именуемые катетами; 3-я его сторона именуется гипотенузой.

Разглядим случайный прямоугольный треугольник АВС Решение произвольных треугольников и проведем высоту СD = hc из верхушки С его прямого угла.

Она разобьет данный треугольник на два прямоугольных треугольника АСD и ВСD; любой из этих треугольников имеет с треугольником АВСобщий острый угол и поэтому подобен треугольнику АВС.

Все три треугольника АВС, АСD и ВСD подобны меж собой Решение произвольных треугольников.

Из подобия треугольников определяются соотношения:

Аксиома Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение меж сторонами прямоугольного треугольника.

Геометрическая формулировка. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей Решение произвольных треугольников квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка.В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Другими словами, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:
a2 + b2 = c2

Оборотная аксиома Пифагора.Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, таковой, что
a2 + b2 = c Решение произвольных треугольников2,
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — треугольник, в каком две стороны равны меж собой.

По определению, верный треугольник также является равнобедренным Решение произвольных треугольников, но оборотное, вообщем говоря, ошибочно.

Характеристики
  • Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны меж собой.
  • Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
  • Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают меж собой.
  • Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой полосы.
  • Углы, противолежащие равным сторонам, всегда острые Решение произвольных треугольников (следует из их равенства).
Признаки
  • Два угла треугольника равны.
  • Высота совпадает с медианой.
  • Высота совпадает с биссектрисой.
  • Биссектриса совпадает с медианой.

Пусть a — длина 2-ух равных сторон равнобедренного треугольника, b — длина третьей стороны, — надлежащие углы, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Соотношения для сторон:

Соотношения для углов:

Соотношения для периметра:

Соотношения для площади:

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Равносторонний треугольник

Треугольник — простой многоугольник, имеющий 3 верхушки и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная 3-мя точками, не лежащими на одной прямой, и 3-мя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Верхушки треугольника обычно обозначаются большими латинскими знаками (A, B, C), величины углов при соответствующих верхушках — греческими знаками ( ), а Решение произвольных треугольников длины обратных сторон — строчными латинскими знаками (a, b, c).

Верный треугольник либо равносторонний треугольник — верный многоугольник с 3-мя сторонами. Все стороны равны меж собой, и все углы равны 60° (либо 3 ).

Пусть t — сторона правильного треугольника, R— радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
  • Радиус вписанной окружности правильного треугольника Решение произвольных треугольников, выраженный через его сторону r=6 3 t .
  • Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону R=3 3 t .
  • Периметр правильного треугольника равен P=3t=3 3R=6 3r .
  • Высота правильного треугольника: h=2 3t .
  • Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам: S=4 3t2=43 3R2=3 3r2 .

Характеристики.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Углы на плоскости

Углом именуется фигура, состоящая из 2-ух лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости.
Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, именуется верхушкой угла, а сами лучи - сторонами угла.

Слово "угол" время от времени подменяют знаком . Нередко при изображении Решение произвольных треугольников угла чертят только выходящие из верхушки исходные участи его сторон, а ту часть, которую желают указать, обозначают дужкой.

Угол обозначается либо одной большей буковкой, поставленной у верхушки угла, к примеру: A , либо 3-мя знаками, из которых одна ставится при верхушке угла, а две другие - у каких-нибудь точек сторон, к Решение произвольных треугольников примеру: BAD . Буковка, стоящая при верхушке угла, всегда записывается меж 2-мя другими знаками. Время от времени угол обозначают цифрой, поставленной снутри угла.

Острый угол имеет градусную меру меньше чем 900 Прямой угол равен 900 . Тупой угол имеет градусную меру больше чем 900 . Развернутый угол равен 1800.

Два угла именуются смежными, если у их одна сторона Решение произвольных треугольников общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Характеристики смежных углов.

Два угла именуются вертикальными Решение произвольных треугольников, если стороны 1-го угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

При скрещении 2-ух параллельных прямых третьей, именуемой секущей:

  1. Накрест лежащие углы равны.
  2. Соответствующые углы равны.
  3. Однобокие углы в сумме составляют 180°.
  4. Смежные углы в Решение произвольных треугольников сумме составляют 180°, а вертикальные — равны.


reshenie-problem-pacienta-posredstvom-sestrinskogo-uhoda.html
reshenie-problem-razvitiya-predpriyatij-rol-nauchnih-issledovanij.html
reshenie-problemi-kontinuuma-princip-neprerivnosti-statya.html