Решение ОНС трех уравнений ДУ (1).

П. 4 Системы дифференциальных уравнений.

Общие понятия. Обычные системы.

Определение.Системой ДУ именуется совокупа уравнений, в каждое из которых входят независящая переменная t, разыскиваемые функции и их производные.

Примеры.

1) , где .

2) , 3) , 4) . 5) .

Определение. Обычной системой n ДУ 1-го порядка с n неведомыми именуется система уравнений вида:

. – система 3-х ДУ 1-го порядка с 3 неведомыми (*).

В примере это 1, 2 и Решение ОНС трех уравнений ДУ (1). 5 системы.

Замечание. Разглядим только системы 3-х линейных ДУ 1-го порядка с 3 неведомыми.

Определение. Общее решение обычной системы 3-х линейных уравнений с 3-мя неведомыми имеет вид: , где С1, С2, С3 – произвольные неизменные. (**)

Замечание 1.Количество случайных неизменных системы ДУ 1-го порядка равно количеству неведомых функций системы.

Замечание 2. В выражения неких Решение ОНС трех уравнений ДУ (1). разыскиваемых функций могут заходить не все произвольные неизменные. Но в общем решении должны находиться все произвольные неизменные, к примеру, .

Задачка Коши. Исходные условия для системы (*): , , . Для нахождения личного решения системы (*), подставляем исходные условия в общее решение (**). Получим систему алгебраических уравнений для определения случайных неизменных. Определитель данной системы – вронскиан.

Аксиома Коши Решение ОНС трех уравнений ДУ (1).. Если правые части обычной системы (*) непрерывны совместно со своими личными производными в округи значений t0, х0, y0, z0 , то существует единственная система функций x(t), y(t), z(t), являющаяся решением системы и удовлетворяющая данным исходным условиям.

Замечание. Механическая иллюстрация решений обычной системы 2-ух линейных ДУ с 2-мя неведомыми Решение ОНС трех уравнений ДУ (1). .

Пусть (х, у) – координаты точки на плоскости (Оху), которую именуют фазовой плоскостью.

Параметрическое уравнение х = x(t), y = y(t) – параметрическое задание полосы на фазовой плоскости. Если t – время, то функции х = x(t), y = y(t) выражают законы движения проекций передвигающейся точки на оси координат, линия х Решение ОНС трех уравнений ДУ (1). = x(t), y = y(t) – траектория перемещения, – проекции скорости передвигающейся точки на оси координат.

Определение. Неоднородной обычной системой (ННС) 3-х линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с неизменными коэффициентами с 3-мя неведомыми именуется система вида: .

Определение. Однородной обычной системой (ОНС) 3-х линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с неизменными коэффициентами с 3-мя неведомыми именуется система Решение ОНС трех уравнений ДУ (1). вида: . (1)

Замечание. Разглядим решение только однородных обычных систем 3-х (2-ух) линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с неизменными коэффициентами.

Определение.Общим решением ОНС именуется . (2)

Замечание (Задачка Коши) . Для нахождения личного решения нужно подставить данные исходные условия , , в общее решение (2). В конечном итоге получим систему алгебраических уравнений для определения случайных неизменных. Данная система Решение ОНС трех уравнений ДУ (1). будет иметь решение и тогда только тогда, когда определитель данной системы – вронскиан – не будет равен нулю ни при каких значениях t0: .

Определение. Совокупа 3-х личных решений, удовлетворяющих условию , образуют фундаментальную систему решений.

Определение. Матрица – матрица обычной НОС (1).

Определение. Уравнение det (A – rE) = 0 либо =0 (3)

именуется характеристическим уравнением системы, числа ri, i = 1, 2, 3, именуются своими Решение ОНС трех уравнений ДУ (1). числами.

Решение ОНС 3-х уравнений ДУ (1).

1 способ. Сведение к одному ДУ.

Обычная однородная система может быть заменена одним однородным ДУ, порядок которого равен числу уравнений системы. (Обычные неоднородные системы ДУ сводятся к неоднородным уравнениям).

И назад, одно ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, при помощи введения новых Решение ОНС трех уравнений ДУ (1). вспомогательных функций всегда можно свести к обычной системе, к примеру, уравнение при помощи вспомогательных функций сводится к системе


reshenie-ot-14-noyabrya-2012-g-137.html
reshenie-ot-16-maya-2013-goda-21.html
reshenie-ot-17-iyulya-2013-g.html