Решение эллиптических уравнений

Решение эллиптических уравнений

Разглядим задачку о рассредотачивании тепла в пластинке.

Отыскать рассредотачивание тепла в области G, изображенной на рисунке

Набросок 1

Радиальные отверстия имеют однообразный размер поперечника – 0.6 м. Правая и левая границы теплоизолированы. Коэффициент теплопроводимости а2=225. На верхней и нижней границе области G температура равна 580, на окружностях – 450.

Дифференциальное уравнение, описывающее рассредотачивание температуры, можно записать последующим образом Решение эллиптических уравнений:

(5.1)

Граничные условия на левой и правой границе имеют вид:

(5.2)

Тут n- вектор нормали к границе.

Таким макаром, задачка о рассредотачивании тепла в области G вполне описывается данным уравнением и граничными критериями.

Разглядим тщательно процесс решения этой задачки в pdetool.

1-ый шаг – конструирование области. После пуска среды pdetool область решения задачки Решение эллиптических уравнений по дефлоту будет принадлежать прямоугольнику [-1.5 1.5; -1 1]. Установим другие границы конфигурации x и y. Для конфигурации границ отображаемой области по x и y нужно выполнить команду меню Options/Axes Limits (Опции/Пределы осей), после этого появится окно, в каком указаны границы конфигурации x и y. Изменим границы.

Набросок 1.1 Окно Axes Limits

Набросок 1.2 Окно Решение эллиптических уравнений Axes Limitsс модифицированными значениями границ

Для удобства на координатной сетке изобразим полосы сетки. Для этого нужно выполнить команду меню Options/Grid (Опции/сетка), после этого среда pdetool будет иметь вид, изображенный на рисунке 1.3.

Набросок 1.3 Координатная сетка с изображенными на ней линиями сетки

Для конструирования области предназначен пункт меню Draw. Для перехода Решение эллиптических уравнений в режим конструирования можно выполнить команду меню Draw/ DrawMode(Рисование/режим рисования) просто избрать один из геометрических примитивов и начать отрисовывать. Геометрические примитивы можно выбирать в пт меню Drawлибо пользоваться панелью рисования области.

Для решения рассматриваемой задачки нужно нарисовать прямоугольник, а в нем – два круга. Для выбора прямоугольника можно выполнить команду Решение эллиптических уравнений меню Draw/Rectangle/Square (Рисование/прямоугольник/квадрат), или щелкнуть по кнопке на панели рисования области. Для уточнения координат прямоугольника нужно два раза щелкнуть по прямоугольнику, что приведет к возникновению диалогового окна Object Dialog.

Набросок 1.4 Диалоговое окно Object Dialog.

Характеристики LeftиBottonопределяют координаты левого нижнего угла прямоугольника, а характеристики Widthи Heightопределяют ширину и высоту Решение эллиптических уравнений прямоугольника. Параметр Nameопределяет имя объекта, все прямоугольники по дефлоту начинаются с «R».

Последующий шаг – рисование 2-ух кругов, 1-ый с центром в точке (1;1) и радиусом 0.3, 2-ой – с центром в точке (2.2;1) и радиусом 0.3. Потом уточним их координаты.

Набросок 1.5 Диалоговое окно Object Dialogдля круга

Нужно найти связи меж объектами. В нашем случае Решение эллиптических уравнений нужно из прямоугольника отнять два круга, потому в области формулы для конструирования области решения нужно ввести формулу R1-C1-C2.

Набросок 1.6 Графическая среда pdetool после ввода области решения задачки

На втором шаге решения задачки нужно ввести уравнение в личных производных. Для ввода уравнений служит пункт меню PDE.Подпункт меню PDE Mode служит Решение эллиптических уравнений для перехода в режим ввода уравнений. 2-ой подпункт служит для показа подобластей, входящих в область решения. 3-ий пункт PDE Specificationпозволяет избрать тип уравнений и ввести его коэффициенты.

Набросок 1.7 Окно PDE Specification- определение типа и коэффициентов дифференциального уравнения в личных производных

Не считая того, в pdetool есть возможность задавать тип решаемой задачки Решение эллиптических уравнений. Для этого можно пользоваться командой Options/Application (Опции/Приложение) либо кнопкой.

Набросок 1.8 Выбор типа решаемой задачки

При решении задачки о рассредотачивании тепла в пластинке можно избрать в качестве решаемой задачки Heat Transfer (Задачка о рассредотачивании тепла) либо просто ввести коэффициенты эллиптического уравнения в окне PDE Specification.Установим тип решаемой задачки Решение эллиптических уравнений Heat Transfer,после этого в окне PDE Specificationопределим характеристики уравнения в личных производных.

Набросок 1.9 Окно PDE Specification –определение коэффициентов задачки о рассредотачивании тепла

3-ий шаг решения задачки посвящен определению граничных критерий. Для ввода граничных критерий предназначен пункт меню Boundary(Граничные условия). Для перехода в режим ввода граничных критерий можно выполнить команду меню Boundary Решение эллиптических уравнений/Boundary Mode (Граничные условия/Режим граничных критерий).

После чего, чтоб найти условия, нужно щелчком мыши выделить границу и выполнить команду меню Boundary/Specify Boundary Condition (Граничные условия/Установить граничные условия) либо выполнить двойной щелчок мышью по выделенной границе. Введем граничные условия для задачки.

Выделяем верхнюю и нижнюю границы области и Решение эллиптических уравнений перебегаем к вводу граничных критерий. На этом участке границы определены условия Дирихле вида h*T=r, в окне Boundary Conditionвводим h=1, r=580.

Набросок 1.10 Ввод критерий для верхней и нижней границы области G

Сгруппировав границы отверстий, установим температуру на их границах – 450.

Набросок 1.11 Ввод критерий на границах отверстий области G

Введем условия Неймана Решение эллиптических уравнений на левой и правой границе области G.

Набросок 1.12 Ввод критерий Неймана для левой и правой границы области G

Ввод критерий задачки завершен.

На последующем, четвертом, шаге проведем триангуляцию области – покроем область сетью, состоящей из треугольников. Это и есть конечные элементы, на которые разбивается область. Режимом триангуляции управляет пункт меню Решение эллиптических уравнений Mesh (Сетка). Для перехода в режим триангуляции служит команда Mesh/ Mesh Mode(Сетка/режим сетки). Переход в режим триангуляции сходу разбивает область на большие треугольники. Этого же можно достигнуть при помощи команды начала триангуляции – пункт меню Mesh/ Initialize Mesh(Сетка/Найти (инициализировать) сетку).

Набросок 1.13 Исходная триангуляция области G

Обычно исходной триангуляции Решение эллиптических уравнений недостаточно для получения решения с данной точностью. Для разбиения области на более маленькие треугольники служит команда меню Mesh/ Refine Mesh(Сетка/Уплотнить сетку). Выполним данную команду два раза.

Набросок 1.14 Уменьшенная сетка в области G

На 5-ом шаге для решения намеченной цели нужно выполнить команду меню Solve/PDE Solve (Решение/Решить PDE).

После чего отысканное решение Решение эллиптических уравнений автоматом изображается на дисплее в виде цветного контурного графика.

Набросок 1.15 Контурный график решения задачки

Контурный график не всегда довольно отлично позволяет проанализировать приобретенное решение. Можно поменять тип построенного графика, выполнив команду меню Plot/Parameters (График/Характеристики). В показавшемся диалоговом окне для построения трехмерного графика установим флаг Height (3-D plot).

Набросок 1.16 Задание Решение эллиптических уравнений характеристик для построения трехмерного графика

Набросок 1.17 Трехмерный график решения задачки


reshenie-komandira-batalona-na-nastuplenie-iz-neposredstvennogo-soprikosnoveniya-s-protivnikom.html
reshenie-komissii.html
reshenie-kontrolnih-primerov-k-glave-i.html