Решение. – Домашнее задание

Лекция № 3. Системы линейных уравнений.

Главные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей т уравнений и п неведомых, именуется система вида:

где числа аij ,i = 1,т , j =1,п именуются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами. Подлежат нахождению числа хп.

Такую систему комфортно записывать в малогабаритной матричной форме А * Х = В.

Тут А – матрица Решение. – Домашнее задание коэффициентов системы, именуемая основной матрицей:

Произведение матриц А * Х определено, потому что в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (п штук).

Расширенной матрицей системы именуется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называетсяп значений неведомых х1 = с1 , х2 = с2 , … , хп = сп, при подстановке Решение. – Домашнее задание которых все уравнения системы обращаются в верными равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений именуется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несопоставимой, если она не имеет ни 1-го решения.

Решение систем линейных уравнений.

Решение невырожденных линейных систем (определитель не равен 0). Способ Крамера

Пусть имеется система уравнений Решение. – Домашнее задание:

Обозначим через Δ определитель матрицы системы и через Δj определитель, который выходит из определителя Δ заметой j-го столбца столбцом правых частей системы ( j=1,2,...n).

Аксиома.

1.3.Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле:

Метод решения систем линейных алгебраических уравнений способом Крамера.

  1. Вычисляем Решение. – Домашнее задание определитель основной матрицы системы, убеждаемся, что он отличен от нуля.
  2. Находим определители Δj, которые являются определителями матриц, приобретенных из матрицы А подменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.
  3. Вычисляем разыскиваемые неведомые переменные x1, x2, …, xn по формулам.
  4. Исполняем проверку результатов, подставляя x1, x2, …, xn в начальную Решение. – Домашнее задание СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в итоге вышла матрица, равная B, то решение системы найдено правильно. В неприятном случае в процессе решения была допущена ошибка.

Матричный метод (при помощи оборотной матрицы)

Пусть дана система п линейных уравнений Решение. – Домашнее задание с п неизвестнымиили в матричной форме А * Х = В.

Найдём решение данной системы уравнений в случае ∆ ≠ 0.

Умножив обе части уравнения А * Х = В слева на матрицу А-1 , получим А-1 * А * Х = А-1 * В. Так как А-1 * А = Е и Е * Х = Х, то Х = А-1 * В.

Пример 4.3. Решить систему

Решение:

Означает,

Задание Решение. – Домашнее задание 1. С помощью формул Крамера отыскать решение системы

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

Потому что определитель матрицы системы неравен нулю, то по аксиоме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим последующие определители:

Таким макаром,

2) Найдите решение системы линейных уравнений способом Крамера .

Решение.

Перепишем систему в виде Решение. – Домашнее задание , чтоб стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле

Определитель основной матрицы отличен от нуля, как следует, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его способом Крамера. Вычислим определители :

Ответ:

.

Обозначения неведомых переменных в уравнениях системы могут отличаться отx1, x2, …, xn. Это не оказывает влияние на Решение. – Домашнее задание процесс решения. А вот порядок следования неведомых переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и нужных определителей способа Крамера. Поясним этот момент на примере.

3) Используя способ Крамера, найдите решение системы 3-х линейных алгебраических уравнений с 3-мя неведомыми .

Решение. – Домашнее задание

В данном примере неведомые переменные имеют другое обозначение Решение. – Домашнее задание (x, y иz заместо x1, x2 и x3). Это не оказывает влияние на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать. Нужно поначалу упорядочить неведомые переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как . Сейчас основную матрицу системы Решение. – Домашнее задание отлично видно .

Дополнительные примеры:


reshenie-grafik-ravnovesiya-stroim-po-sootvetstvuyushim-znacheniyam-ceni-velichini-sprosa-i-velichini-predlozheniya.html
reshenie-imenem-rossijskoj-federacii-stranica-2.html
reshenie-imenem-rossijskoj-federacii-stranica-7.html