РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Главные понятия

Определение.Уравнение вида

F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*)

связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, именуется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка именуется функция у = φ(х, С1,С2,…,Сn), которая находится в зависимости от аргумента х и n независящих РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ случайных неизменных С1, С2, …, Сn, обращающая вкупе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество.

Определение. Личным решением уравнения (*) именуется решение, которое выходит из общего решения, если придавать неизменным С1, С2, …, Сn определенные числовые значения.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ρ(x) и f(x) непрерывные функции, именуется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами

Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, именуется линейным дифференциальным уравнением с неизменными коэффициентами.

Разглядим линейное уравнение второго порядка РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ вида:

y''+ρy'+qy=0, (1)

у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение именуется однородным.

Уравнение

K2+ρK+q=0 (2)

именуется характеристическим уравнением данного уравнения (1).

Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.

Общее решение уравнения (1) может быть записано зависимо от величины дискриминанта D=ρ2–4q уравнения (2) последующим РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ образом:

1. При D>0 корешки характеристического уравнения вещественные и разные (К1≠К2), и общее решение имеет вид .

2. При D=0 корешки характеристического уравнения вещественные и равные (К1=К2=К), и общее решение имеет вид:

3. Если D<0, то корешки характеристического уравнения всеохватывающие: , где – надуманная единица, и общее решение (К1=α+βi, К2=α–βi РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ, β≠0), имеет вид y=eαx(C1 cosβx+C2 sinβx).

Зада́ча Коши́ — одна из главных задач теории дифференциальных уравнений (обычных и с личными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так именуемым исходным условиям (исходным данным).

Задачка Коши обычно появляется при анализе процессов, определяемых РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ дифференциальным законом эволюции и исходным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и изначальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: исходные данные задаются при , а решение отыскивается при .

От краевых задач задачка Коши отличается тем, что область, в какой должно быть определено разыскиваемое решение, тут заблаговременно не указывается. Все же РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ, задачку Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

5) Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая именуется последовательностью частичных сумм (ряда).

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся полностью, то их сумма сходится полностью. Если РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ хотя бы один из рядов сходится полностью, то произведение рядов сходится.

Определение числового ряда.

Сходимость ряда.

Нескончаемым числовым рядом именуется выражение u1+u2+...+un+... , (1)

содержащее неограниченное число членов, где

u1 , u2 , u3 , ... , un , ...

- нескончаемая числовая последовательность; un именуется общим членом ряда.

Определение: Ряд именуется сходящимся, если сумма первых его n членов РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ стремится к конечному лимиту S, именуемому суммой ряда.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в какой каждое следующее число, начиная со второго, выходит из предшествующего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].

В арифметике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из нескончаемого количества членов, оборотных поочередным числам натурального ряда.

6)Признак Деломбера РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ .

7)

8)

9,10) Ряд Те́йлора — разложение функции в нескончаемую сумму степенных функций.

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ При помощи СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

В особенности нередко и отлично степенные ряды употребляются для четкого и приближенного решения дифференциальных уравнений, обычных и с личными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические обоснования, разглядим дифференциальное уравнение Бесселя

x2y РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ" + xy' + (x2 - n2)y = 0,

где n - неизменная (необязательно целая), x - независящая переменная, а y = y(x) - разыскиваемая функция. Решения этого уравнения, именуемые функциями Бесселя, отыскали применение фактически во всех областях современного естествознания.

Будем находить y в виде обобщенного степенного ряда

где p, ak - неведомые неизменные, при этом a0 ? 0. Дифференцируя этот ряд РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ два раза под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y', y" в уравнение (7). Потом создадим приведение схожих членов, и коэффициенты приобретенного ряда приравняем нулю. После чего получим нескончаемую систему уравнений

a0(p2 - n2) = 0,

a1[(p + 1)2 - n2] = 0,

ak[(p + k)2 - n2] + ak - 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,

откуда находим

p = ? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,

В РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), надлежащие значениям p = n и p = - n, являются линейно-независимыми и хоть какое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1 , c2 - неизменные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ только неизменным множителем, потому определяют только одно из 2-ух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

Дискретной случайной величинойименуется такая переменная величина, которая может принимать конечную либо нескончаемую совокупа значений, при этом принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

21)

22)

23)

24)

25)


reshenie-golovolomki-kak-kto-i-pochemu-the-five-biggest-unsolved-problems-in-science.html
reshenie-gomelskogo-ispolnitelnogo-komiteta-ot-29-09-2005-goda-686-stranica-5.html
reshenie-gorodskoj-dumi-goroda-nizhnego-novgoroda-ot-14-dekabrya-2011-g-n-181-o-byudzhete-goroda-nizhnego-novgoroda-na-2012-god-stranica-3.html